Question

已知函数f（x）=m（x-1）²-2x+3+lnx（m≥1）．
（Ⅰ）当时，求函数f（x）在区间[1，3]上的极小值；
（Ⅱ）求证：函数f（x）存在单调递减区间[a，b]；
（Ⅲ）是否存在实数m，使曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）（x＞0）．
当时，，令f′（x）=0，得x₁=2，x₂=．
f（x），f′（x）的变化情况如下表：

x	（0，）		（，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以，当x=2时，函数f（x）取到极小值，且极小值为f（2）=ln2-．（4分）
（Ⅱ）令f′（x）=0，得mx²-（m+2）x+1=0． （*）
因为△=（m+2）²-4m=m²+4＞0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b（a＜b）．
因为m≥1，所以
所以a＞0，b＞0，即方程（*）有两个不等的正根，因此f′（x）＜0的解为（a，b）．
故函数f（x）存在单调递减区间．（8分）
（Ⅲ）因为f′（1）=-1，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l为y=-x+2．
若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程m（x-1）²-2x+3+lnx=-x+2有且只有一个实根．
显然x=1是该方程的一个根．
令g（x）=m（x-1）²-x+1+lnx，则．
当m=1时，有g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意．
当m＞1时，令g′（x）=0，得x₁=1，x₂=，则x₂∈（0，1），易得g（x）在x₁处取到极小值，在x₂处取到极大值．
所以g（x₂）＞g（x₁）=0，又当x→0时，g（x）→-∞，所以函数g（x）在（0，）内也有一个解，即当m＞1时，不合题意．
综上，存在实数m，当m=1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与C有且只有一个公共点．（14分）
分析：（I）先求出导函数，然后求出f′（x）=0，通过列表判定函数的单调性，从而确定函数的极小值；
（II）令f′（x）=0，因为△＞0，所以方程存在两个不等实根，根据条件进一步可得方程有两个不等的正根，从而得到函数f（x）存在单调递减区间；
（III）先求出函数y=f（x）在点P（1，1）处的切线l的方程，若切线l与曲线C只有一个公共点，则只需方程f（x）=-x+2有且只有一个实根即可．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值和单调性，以及导数的几何意义，同时考查了转化的思想，属于中档题．