Question

6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，0），B（0，-$\sqrt{3}$），点D是圆C：（x+1）²+y²=1上的动点，则|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|的最大值为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$+1
• C． $\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$+2

Answer 1

分析 设D（x，y），-2≤x≤0，-1≤y≤1，根据向量的坐标运算得到$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$=（x+1，y-$\sqrt{3}$），设|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|=m，得到m²=（x+1）²+（y-$\sqrt{3}$）²，由点D在圆上，联立消去x得到m²=4-2$\sqrt{3}$y，根据函数的单调性即可求出最大值．

解答 解：设D（x，y），-2≤x≤0，-1≤y≤1，
∵A（1，0），B（0，-$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$=（x+1，y-$\sqrt{3}$），
设|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|=m，
∴m²=（x+1）²+（y-$\sqrt{3}$）²，
∵（x+1）²+y²=1，
∴m²=1-y²+（y-$\sqrt{3}$）²=4-2$\sqrt{3}$y，
∴当y=-1时，m²有最大值，
即m²=4+2$\sqrt{3}$=（$\sqrt{3}$+1）²，
∴m=$\sqrt{3}$+1，
故|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|的最大值为$\sqrt{3}$+1．
故选：B．

点评 本题考查了向量的坐标运算，以及摸的计算和函数的单调性，得到m²=4-2$\sqrt{3}$y是本题的关键，属于中档题．