Question

14．一个所有棱长均为$\sqrt{2}$的正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面的中心）的顶点与底面的三个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 求出正四棱锥底面对角线的长，判断底面对角线长，就是球的直径，即可求出球的体积．

解答 解：正三棱锥的边长为$\sqrt{2}$，则该正三棱锥所在的正方体也为外接球的内接几何体．
所以正方体的体对角线为外接球的直径．
正方体的边长为1，所以所求球的半径为：r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以球的体积为：V_球=$\frac{4}{3}π（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}π$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$

点评 本题是中档题，考查空间想象能力，注意正三棱锥和正方体的转化，正方体额对角线的长是球的直径是解题的关键点，考查计算能力．