Question

如图，四棱锥P―ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD.底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3.点E在棱PA上，且PE=2EA.

（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角；

（Ⅱ）求证：PC∥平面EBD；

（Ⅲ）求二面角A―BE―D的大小（用反三角函数表示）.

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）∵PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，∴CD⊥BD

在直角梯形ABCD中，AB=AD=3，∴BC=6

取BC的中点F，连结PF，则AF//CD.

∴异面直线PA和CD所成的角就是PA和AF所成的角∠PAF

在△PAF中，

即异面直线PA和CD所成的角是

（Ⅱ）连结AC交BD于G，连结EG，

（Ⅲ）∵PB⊥平面ABCD，∴AD⊥PB.

又∵AD⊥AB，∴AD⊥平面EAB.

作AE⊥BE，垂足为H，连结DH，则DH⊥BE，

∴∠AHD是二面角A―BE―D的平面角.……10分

解法二：

（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系B―xyz.

（Ⅱ）设平面BED的法向量为

故，从而

又

（Ⅲ）平面BED的法向量为

又因为平面ABE的法向量

 所以

所以，二面角A―BE―D的大小数点为