Question

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的原粒物，也称可入肺颗粒物，它对空气质量和能见度等有重要影响．近几年，我国气象部门加强了对空气PM2.5含量的监测，如果空气中PM2.5的浓度高于10微克/立方米，则对人的呼吸系统造成危害，长沙市一监测点连续监测了一天中0～12时内PM2.5含量的变化情况，其浓度W（t）（微克/立方米）随时刻t的变化可近似表示如：
W（t）=

5 2 (t-4)2+40，0≤t＜6 k(t-6)2-(t-6)+ln[(t-6)+1]+50，6≤t≤12

（1）设k=1，根据目前状况，长沙市PM2.5含量暂定小于或等于50微克/立方米视为达标，求这0～12时内哪些时间段是达标的？
（2）已知k＞0，现已知当t∈（6，12]时，PM2.5的浓度始终大于50微克/立方米，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用,分段函数的应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用

分析：（1）当0≤t＜6时，解

5

2

（t-4）²+40≤50，当6≤t≤12时，（t-6）²-（t-6）+ln[（t-6）+1]+50≤50；从而求时间段；
（2）结合（1）知，k≥1．

解答： 解：（1）当0≤t＜6时，

5

2

（t-4）²+40≤50，
解得，2≤t＜6；
当6≤t≤12时，
（t-6）²-（t-6）+ln[（t-6）+1]+50≤50；
解得，t=6；
故这0～12时内2到6时间段内是达标的；
（2）由（1）知，当k=1时，恰好（t-6）²-（t-6）+ln[（t-6）+1]+50≥50；
故k≥1．

点评：本题考查函数在实际问题中的应用及分段函数的应用，属于中档题．