Question

设数列{a_n}各项均为正数，且满足a_n+1=a_n-a_n²．
（Ⅰ）求证：对一切n≥2，都有a_n≤

1

n+2

；
（Ⅱ）已知前n项和为S，求证：对一切n≥2，都有S_2n-S_n-1＜ln2．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得0＜a₁＜1，当n=2时，a3=a2-a22=

1

4

-(a1-

1

2

)2≤

1

4

，不等式成立，假设当n=k（k≥2）时，不等式成立，由已知推导出不等式也成立，由数学归纳法知，对一切n≥2，都有a_n≤

1

n+2

．
（Ⅱ）设f（x）=ln（x+1）-

x

x+1

，x＞0则f′(x)=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，ln（x+1）＞

x

x+1

，令x=

1

n+1

，代入上式，得

1

n+2

＜ln(n+2)-ln(n+1)，由此能证明对一切n≥2，都有S_2n-S_n-1＜ln2．

解答： 证明：（Ⅰ）∵数列{a_n}各项均为正数，且满足a_n+1=a_n-a_n²，
∴a2=a1-a12＞0，解得0＜a₁＜1，
当n=2时，a3=a2-a22=

1

4

-(a1-

1

2

)2≤

1

4

，不等式成立，
假设当n=k（k≥2）时，不等式成立，即ak≤

1

k+2

，
则当n=k+1时，
ak+1=ak-ak2=

1

4

-(ak-

1

2

)2
≤

1

4

-（

1

k+2

-

1

2

）²=

k+1

(k+2)2

＜

k+1

(k+1)(k+3)

=

1

(k+2)+1

，
∴当n=k+1时，不等式也成立，
由数学归纳法知，对一切n≥2，都有a_n≤

1

n+2

．
（Ⅱ）设f（x）=ln（x+1）-

x

x+1

，x＞0
则f′(x)=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
则f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞

x

x+1

，
令x=

1

n+1

，代入上式，得

1

n+2

＜ln(n+2)-ln(n+1)，
故对一切n≥2，S_2n-S_n-1=a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_2n
≤

1

n+2

+

1

n+3

+

1

n+4

+…+

1

2n+2

＜ln（n+2）-ln（n+1）+ln（n+3）-ln（n+2）+…+ln（2n+2）-ln（2n+1）
=ln（2n+2）-ln（n+1）=ln2．
∴对一切n≥2，都有S_2n-S_n-1＜ln2．

点评：本题考查不等式的证明，解题时要注意导数性质、构造法、数学归纳法的合理运用．