Question

设函数f（x）=sin xcos x-

3

cos（π+x）•cos x（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若函数y=f（x）的图象向右平移

π

4

个单位，再向上平移

3

2

个单位，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在[0，

π

4

]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等变换化简函数 f（x）的解析式为=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，由此求得它的最小正周期．
（2）根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律可得g（x）=sin[2（x-

π

4

）+

π

3

]+

3

=sin（2x-

π

6

）+

3

，再利用函数g（x）的单调性求得g（x）在[0，

π

4

]上的最大值．

解答：解：（1）∵f（x）=sin xcos x-

3

cos（π+x）•cos x=

1

2

sin 2x+

3

cos²x=

1

2

sin 2x+

3

2

（1+cos 2x）=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，
故f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）由题意g（x）=f（x-

π

4

）+

3

2

，∴g（x）=sin[2（x-

π

4

）+

π

3

]+

3

=sin（2x-

π

6

）+

3

，
当x∈[0，

π

4

]时，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，g（x）是增函数，
∴g（x）_max=g（

π

4

）=

3 3

2

．

点评：本题主要考查函数了y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，三角恒等变换，复合三角函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．