Question

【题目】设函数．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（I）；（II）．

【解析】

试题分析：（I）当，时，，所以，，所以，由此求得切线方程为；（II）当时，，要证明的不等式等价于，利用导数求得左边函数的最小值为．

试题解析：（Ⅰ）当时，，则，

，∴，

∴曲线在点处的切线方程为，即．

（Ⅱ）当时，，

所以不等式等价于

方法一：令，

则．

当时，，则函数在上单调递增，所以，

所以根据题意，则有，∴．

当时，由，知函数在上单调递减；

由，知函数在上单调递增，

所以．

由条件知，即．

设，则，

所以在上单调递减．

又，所以与条件矛盾．

综上可知，实数的取值范围为．

方法二：令，

则在上恒成立，所以，

所以．

又，

显然当时，，则函数在上单调递增，所以，

所以．

综上可知的取值范围为．