Question

【题目】已知椭圆E：mx2+y2=1（m＞0）．
（Ⅰ）若椭圆E的右焦点坐标为 ，求m的值；
（Ⅱ）由椭圆E上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形．若以B（0，1）为直角顶点的椭圆E的内接等腰直角三角形恰有三个，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）椭圆E的方程可以写成 ，焦点 在x轴上，所以 ，b2=1 ，求得 ．

（Ⅱ）设椭圆E内接等腰直角三角形的两直角边分别为BA，BC，设A（x1，y1），C（x2，y2）

显然BA与BC不与坐标轴平行，且kBAkBC=﹣1＜0∴可设直线BA的方程为y=kx+1（k＞0），则直线BC的方程为 ，

由 消去y得到（m+k2）x2+2kx=0，所以

求得

同理可求

因为△ABC为以B（0，1）为直角顶点的等腰直角三角形，所以|BA|=|BC|，

所以 ，

整理得mk3﹣k2+k﹣m=0（mk3﹣m）﹣（k2﹣k）=0m（k3﹣1）﹣（k2﹣k）=0

m（k﹣1）（k2+k+1）﹣k（k﹣1）=0（k﹣1）[mk2+（m﹣1）k+m]=0

所以k=1或mk2+（m﹣1）k+m=0，设f（k）=mk2+（m﹣1）k+m

因为以B（0，1）为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形恰有三个，

所以关于k的方程mk2+（m﹣1）k+m=0有两个不同的正实根x1，x2，且都不为1∴ ，

所以实数m的取值范围是

【解析】（Ⅰ）化椭圆E的方程为标准形式，通过焦点 在x轴上，求出a，然后求解m即可．（Ⅱ）设椭圆E内接等腰直角三角形的两直角边分别为BA，BC，设A（x1，y1），C（x2，y2），BA与BC不与坐标轴平行，且kBAkBC=﹣1＜0，设直线BA的方程为y=kx+1（k＞0），则直线BC的方程为 ，

联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式，通过数据线的形状，转化求解即可．