Question

12．若函数f（x）单调函数，且对任意实数x，均有f[f（x）-a^x]=a+1（a≥e，e自然数对数的底数），则${∫}_{0}^{1}$f（x）dx的最小值为（　　）

• A． e-1
• B． e+1
• C． e
• D． $\frac{1}{e}+1$

Answer 1

分析 由函数为单调函数可知f（x）-a^x为常数，不妨设f（x）=a^x+c，于是f（c）=a+1，从而解出c，得出f（x）的解析式，利用定积分可得结论．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上的单调函数，不妨设f（c）=a+1，
∴f（x）-a^x=c，即f（x）=a^x+c．
∴f（c）=a^c+c=a+1．∴c=1．∴f（x）=a^x+1．
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$（a^x+1）dx=（$\frac{{a}^{x}}{lna}$+x）${|}_{0}^{1}$=$\frac{a}{lna}$+1-$\frac{1}{lna}$，
∵a≥e，e自然数对数的底数，
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx的最小值为e
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性的性质，考查定积分知识的运用，属于中档题，求出f（x）解析式是关键．