Question

2．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足（1）f（x）＞0；（2）f（x）＜f′（x）＜2f（x）（其中f′（x）是f（x）的导函数，e是自然对数的底数），则$\frac{f（1）}{f（2）}$的范围为（　　）

• A． （$\frac{1}{2{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$）
• B． （$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$）
• C． （e，2e）
• D． （e，e³）

Answer 1

分析 根据题给定条件，设构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$与h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2x}}$，再利用导数判断在（1，2）上函数的单调性．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g'（x）=$\frac{f'（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＞0
∴g（x） 在（0，+∞）上单调递增，所以g（1）＜g（2），即$\frac{f（1）}{e}$＜$\frac{f（2）}{{e}^{2}}$⇒$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{1}{e}$；
令h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2x}}$，则h'（x）=$\frac{f'（x）-2f（x）}{{e}^{2x}}＜0$
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，所以h（1）＞h（2），即$\frac{f（1）}{{e}^{2}}$＞$\frac{f（2）}{{e}^{4}}$⇒$\frac{f（1）}{f（2）}$＞$\frac{1}{{e}^{2}}$
综上，$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{1}{e}$ 且  $\frac{f（1）}{f（2）}$＞$\frac{1}{{e}^{2}}$．
故选：B

点评 本题主要考查了导数与函数的单调性以及构造法的应用，属中等难度题．