Question

14．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$（a+1）x²-（a+2）x+6，a∈R．
（1）若f（x）在x=-3处取得极大值，是否存在极小值？若存在求出极小值．若不存在说明理由；
（2）若函数f（x）在R上单调，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f′（-3）=0，求出a的值，从而求出函数的解析式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）结合题意得到f'（x）≥0或者f'（x）≤0，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f'（-3）=0，得a=1．…（2分）
得f'（x）=x²+2x-3，令f'（x）=0，得x=-3，或x=1，…（4分）
在（-∞，-3），（1，+∞）上 f'（x）＞0，
在（-3，1）上，f'（x）＜0，
所以可知在x=1处有极小值，
${y_{极小值}}=f（1）=\frac{13}{3}$，…（6分）
（2）因为单调，所以f'（x）≥0或者f'（x）≤0，
f'（x）=ax²+（a+1）x-（a+2），
当a=0时，f'（x）=x-2，不符题意…..（8分）
当a≠0时，f'（x）=ax²+（a+1）x-（a+2）表示二次函数，
f'（x）≥0或者f'（x）≤0，所以与x轴有一个交点或者没有交点，
所以ax²+（a+1）x-（a+2）=0至多一个根，
所以△≤0，所以$\frac{{-5-2\sqrt{5}}}{5}≤a≤\frac{{-5+2\sqrt{5}}}{5}$…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．