Question

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=1，∠BAD=60°．
（1）求证：OM∥平面PAB；
（2）平面PBD⊥平面PAC；
（3）当三棱锥C-PBD的体积等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，求PB的长．

Answer 1

分析 （1）利用OM是△PDB的中位线来证明OM∥平面PAB；
（2）利用BD⊥AC，PA⊥BD证明DB⊥面PAC来证明平面PBD⊥平面PAC；
（3）以四边形ABCD为底面，列出体积等式，求出PA，在根据勾股定理来求PB长；

解答 解：（1）在△PDB中，O、M分别是BD、PD的中点，
∴OM是△PDB的中位线，∴OM∥PB．
OM?面PBD，PB?面PDB，
∴OM∥面PBD．
（2）∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵PA⊥面ABCD，DB?面ABCD，
∴PA⊥BD；
∵AC?面PAC，PA?面PAC，AC∩PA=A
∴DB⊥面PAC，
∵BD?面PBD，
∴面PBD⊥面PAC．
（3）因为底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，所以S_ABCD=2$\sqrt{3}$．
∵四棱锥P-ABCD的高为PA，
∴$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×PA=\sqrt{3}$，得PA=$\frac{3}{2}$．
∵PA⊥面ABCD，AB?面ABCD，∴PA⊥AB．
在Rt△PAB中，PB=$\sqrt{P{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查了线面平行判定定理、面面垂直判定定理以及空间几何体体积，属中等题．