Question

14．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本．如果采用系统抽样法和分层抽样法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体．则样本容量n=6，其中工程师晏某被抽中的概率为$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，算出总体个数，根据分层抽样的比例和抽取的工程师人数得到n应是6的倍数，36的约数，由系统抽样得到$\frac{35}{n+1}$必须是整数，验证出n的值．

解答 解：由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；
如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，
需要在总体中先剔除1个个体，
∵总体容量为6+12+18=36．
当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为$\frac{36}{n}$，
分层抽样的比例是$\frac{n}{36}$，抽取的工程师人数为$\frac{n}{36}$•6=$\frac{n}{6}$，
技术员人数为$\frac{n}{36}$•12=$\frac{n}{3}$，技工人数为$\frac{n}{36}$•18=$\frac{n}{2}$，
∵n应是6的倍数，36的约数，
即n=6，12，18．
当样本容量为（n+1）时，总体容量是35人，
系统抽样的间隔为$\frac{35}{n+1}$，
∵$\frac{35}{n+1}$必须是整数，
∴n只能取6．
即样本容量n=6．
工程师晏某被抽中的概率为$\frac{6}{36}$=$\frac{1}{6}$．
故答案为6，$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查分层抽样和系统抽样，是一个用来认识这两种抽样的一个题目，把两种抽样放在一个题目中考查，加以区分，是一个好题．