Question

11．曲线y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$与直线kx-y-k+3=0有两个交点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{4}{3}$）∪（0，+∞）
• B． （-$\frac{4}{3}$，0）
• C． $（{0，\frac{2}{3}}]$
• D． [-2，-$\frac{4}{3}$）∪（0，$\frac{2}{3}$]

Answer 1

分析 根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得到结论．利用数形结合作出图象进行研究即可．

解答 解：由kx-y-k+3=0知直线l过定点（1，3），将y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$两边平方得x²+（y-1）²=4，
则曲线是以（0，1）为圆心，2为半径，且位于直线y=1上方的半圆．

当直线l过点（-2，1）时，直线l与曲线有两个不同的交点
此时-2k-1-k+3=0，解得k=$\frac{2}{3}$，
当直线l过点（2，1）时，直线l与曲线有两个不同的交点
此时2k-1-k+3=0，解得k=-2，
当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，
圆心（0，1）到直线kx-y-k+3=0的距离d=$\frac{|2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
解得k=0或-$\frac{4}{3}$
要使直线kx-y-k+3=0与曲线y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$有两个交点时，
则实数k的取值范围是[-2，-$\frac{4}{3}$）∪（0，$\frac{2}{3}$]，
故选：D．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查学生的计算能力．