Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若

AB

•

AC

=

BA

•

BC

=1．
（Ⅰ）求证：A=B；
（Ⅱ）求边长c的值；
（Ⅲ）若|

AB

+

AC

|=

6

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由|

AB

|=a，|

AC

|=b，|

BC

|=b故可将•

AC

=

BA

•

BC

=1转化为一个三角方程，解方程即可证明：A=B
（2）由（1）的结论，再结合余弦定理，可构造一个关于c的方程，解方程易求c值．
（3）若|

AB

+

AC

|=

6

平方后，结合余弦定理，可以判断三角形的形状，再结合（2）的结论，即可求△ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵

AB

•

AC

=

BA

•

BC

．
∴bccosA=accosB，即bcosA=acosB
由正弦定理得sinBcosA=sinAcosB
∴sin（A-B）=0
∵-π＜A-B＜π
∴A-B=0，∴A=B
（Ⅱ）∵

AB

•

AC

=1，∴bccosA=1
由余弦定理得bc•

b2+c2-a2

2bc

=1，即b²+c²-a²=2
∵由（Ⅰ）得a=b，∴c²=2，∴c=

2

（Ⅲ）∵|

AB

+

AC

|=

6

，∴|

AB

|²+|

AC

|²+2|

AB

•

AC

|=6
即c²+b²+2=6
∴c²+b²=4
∵c²=2
∴b²=2，b=

2

∴△ABC为正三角形
∴S_△ABC=

3

4

×（

2

）²=

3

2

点评：（1）中在判断三角形形状时，要注意对角的范围进行分析，即求角的大小需要两个条件：该角的一个三角函数值和该角的范围，缺一不可．（2）正、余弦定理是解三解形必用的数学工具，正弦定理一般用于已知两角一边及两边和其中一边对角的情况，余弦定理一般用于已知三边及两边和其夹角的情况．