Question

16．设数列{a_n}满足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=$\frac{n}{2}，n∈{N^*}$
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设b_n=lg$\frac{1}{a_n}$，T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求证：数列{T_n}中T₁最小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=$\frac{n}{2}，n∈{N^*}$与${a_1}+2{a_2}+{2^2}{a_3}+…+{2^{n-2}}{a_{n-1}}=\frac{n-1}{2}$相减，计算、整理即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知b_n=nlg2，利用错位相减法计算可知${T_n}=2lg2（{1-\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}}）$，利用作商法可知$f（n）=\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}$f（n）递减，进而可得结论．

解答 （Ⅰ）解：当n=1时，${a_1}=\frac{1}{2}$． …（2分）
当n≥2时，${a_1}+2{a_2}+{2^2}{a_3}+…+{2^{n-2}}{a_{n-1}}=\frac{n-1}{2}$，
相减得：${2^{n-1}}{a_n}=\frac{n}{2}-\frac{n-1}{2}=\frac{1}{2}$．
所以，当n≥2时，${a_n}=\frac{1}{2^n}$．…（4分）
当n=1时，${a_1}=\frac{1}{2}$也满足上式，
所求通项公式${a_n}=\frac{1}{2^n}$…（5分）．
（Ⅱ）证明：由（I）可知b_n=nlg2，…（7分）
∴${T_n}={a_1}{b_1}+{a_2}{b_2}+…+{a_n}{b_n}=lg2[{1•（{\frac{1}{2}}）+2•{{（{\frac{1}{2}}）}^2}+…+n•{{（{\frac{1}{2}}）}^n}}]$，
$\frac{1}{2}{T_n}=lg2[{1•{{（{\frac{1}{2}}）}^2}+2•{{（{\frac{1}{2}}）}^3}+…+n•{{（{\frac{1}{2}}）}^{n+1}}}]$，…（9分）
相减得$\frac{1}{2}{T_n}=lg2[{\frac{1}{2}+{{（{\frac{1}{2}}）}^2}+…+{{（{\frac{1}{2}}）}^n}-n{{（{\frac{1}{2}}）}^{n+1}}}]$，
所以${T_n}=2lg2（{1-\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}}）$．…（11分）
设$f（n）=\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}$，则$f（{n+1}）=\frac{n+3}{{{2^{n+2}}}}$，
显然$\frac{{f（{n+1}）}}{f（n）}=\frac{n+3}{2n+4}＜1$，…（13分）
即f（n）为减，从而T_n随着n的增大而增大，
故T₁最小． …（15分）

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用构造方程组法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．