Question

已知函数f（x）=mx²+（m-3）x+1的图象与x轴公共点至少有一个在原点右侧．
（1）求实数m的取值范围；
（2）令t=2-m，求[

1

t

]的值；（其中[t]表示不超过t的最大整数，例如：[1]=1，[2.6]=2，[-2.6]=-3）
（3）对（2）中的t，求函数g(t)=

4[t]2+1

4[t]+[ 1 t ]

的最小值．

Answer 1

（1）当m=0时，f（x）=-3x+1，则-3x+1=0，
得x=

1

3

符合题意…（1分）
当m＜0时，∵f（0）=1，方程f（x）=0有一正一负两个根，符合题意…（2分）
当m＞0，则

△≥0 - m-3 2m ＞0

…（2分）?

(m-3)2-4m≥0 m＜3

∴0＜m≤1…（2分）
综上，得m≤1…（1分）
（2）∵m≤1∴t=2-m≥1…（1分）
若t=1，则[

1

t

]=1…（1分）
若t＞1，则[

1

t

]=0…（1分）
∴[

1

t

]=

1(t=1) 0(t＞1)

…（1分）
（3）若t=1，则[t]=1，g(t)=

4+1

4+1

=1…（1分）
若t＞1，则[

1

t

]=0，设[t]=n(n≥1，n∈N)…（1分）
g(t)=

4n2+1

4n

=n+

1

4n

在[1，+∞)上递增…（2分）
∴g(t)∈[

5

4

，+∞)…（1分）
∴g（t）的最小值是1．…（1分）