Question

9．定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：（1）f（x）=x²；（2）f（x）=x²+1；$（3）f（x）=\sqrt{|x|}$；（4）f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”f（x）的序号为（　　）

• A． （1）（2）
• B． （3）（4）
• C． （1）（3）
• D． （2）（4）

Answer 1

分析 根据新定义“保比等比数列”，结合等比数列中项的定义a_n•a_n+2=a_n+1²，逐一判断四个函数，即可得到结论．

解答 解：根据题意，由等比数列性质知a_n•a_n+2=a_n+1²，
（1）、f（x）=x²，f（a_n）f（a_n+2）=a_n²a_n+2²=（a_n+1²）²=f²（a_n+1），故（1）是“保等比数列函数”；
（2）、f（x）=x²+1，f（a_n）f（a_n+2）≠f²（a_n+1），故（2）不是“保等比数列函数”；
（3）、f（x）=$\sqrt{|x|}$，f（a_n）f（a_n+2）=$\sqrt{|{a}_{n}||{a}_{n+2}|}$=（$\sqrt{|{a}_{n+1}|}$）²=f²（a_n+1），故（3）是“保等比数列函数”
（4）、f（x）=ln|x|，则f（a_n）f（a_n+2）=ln（|a_n|）•ln（|a_n+2|）≠ln（|a_n+1|）²=f²（|a_n+1|），故（4）不是“保等比数列函数”；
故选：C．

点评 本题考查等比数列判定，涉及函数值的计算，理解“保等比数列函数”的定义是解题的关键．