Question

20．设实系数一元二次ax²+bx+c=0的两根是x₁、x₂，下列命题中，假命题的序号是（1）（2）
（1）方程可能有两个相等的虚根
（2）ax²+bx+c=（x-x₁）（x-x₂）
（3）$x_1^2{x_2}+{x_1}x_2^2=-\frac{bc}{a^2}$
（4）若b²-4ac＜0，则x₁-x₂一定是纯虚数．

Answer 1

分析 （1）实系数一元二次ax²+bx+c=0的两根是x₁、x₂，方程可能有两个共轭虚根，即可判断出真假．
（2）由ax²+bx+c=a（x-x₁）（x-x₂），即可判断出真假．
（3）x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，可得${x}_{1}^{2}{x}_{2}$+${x}_{1}{x}_{2}^{2}$=（x₁+x₂）•x₁x₂，即可得出．
（4）由b²-4ac＜0，则x₁-x₂一定是纯虚数．即可得出．

解答 解：（1）实系数一元二次ax²+bx+c=0的两根是x₁、x₂，方程可能有两个共轭虚根，因此是假命题．
（2）由于ax²+bx+c=a（x-x₁）（x-x₂），因此（2）是假命题．
（3）∵x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
∴${x}_{1}^{2}{x}_{2}$+${x}_{1}{x}_{2}^{2}$=（x₁+x₂）•x₁x₂=-$\frac{b}{a}$•$\frac{c}{a}$=$-\frac{bc}{{a}^{2}}$，是真命题．
（4）若b²-4ac＜0，则x₁-x₂一定是纯虚数．因此是真命题．
综上可得：假命题的序号是（1）（2）．
故答案为：（1）（2）．

点评 本题考查了实系数一元二次ax²+bx+c=0的两根的性质、复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．