Question

5．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2，AB=4；
（1）求证：AD₁⊥平面A₁B₁D；
（2）求BD与平面ACC₁A₁所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）推导出AD₁⊥A₁D，AD₁⊥A₁B₁，由此能证明AD₁⊥平面A₁B₁D．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD与平面ACC₁A₁所成角的大小．

解答 证明：（1）∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2，AB=4，
∴四边形ADD₁A₁是正方形，∴AD₁⊥A₁D，
∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁⊥平面ADD₁A₁，AD₁?平面ADD₁A₁，
∴AD₁⊥A₁B₁，
∵A₁B₁∩A₁D=A₁，∴AD₁⊥平面A₁B₁D．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0，），B（2，4，0），C（0，4，0），D（0，0，0），A₁（2，0，2），
$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，2），$\overrightarrow{AC}$=（-2，4，0），$\overrightarrow{BD}$=（-2，-4，0），
设平面ACC₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-2x+4y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，0），
设BD与平面ACC₁A₁所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{8}{\sqrt{5}•\sqrt{20}}$=$\frac{4}{5}$．
∴θ=arcsin$\frac{4}{5}$，
∴BD与平面ACC₁A₁所成角为arcsin$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．