Question

13．已知数列{a_n}的首项是a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）递推式两边同时加1即可得出a_n+1+1=2（a_n+1），得出{a_n+1}为等比数列，求出通项即可得出a_n；
（2）先分组，再使用错位相减法求出一部分的和，即可得出S_n．

解答 解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁+1=2，{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1．
（2）na_n=n•2ⁿ-n，
∴S_n=1•2-1+2•2²-2+3•2³-3+…+n•2ⁿ-n
=（1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ）-（1+2+3+4+…+n），
令T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
则2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，
又1+2+3+4+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$，
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2-$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{n}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的判断，数列通项公式的求法，数列求和，属于中档题．