Question

2．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，其图象的一个对称中心为$（\frac{π}{4}，0）$，将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移$\frac{π}{2}$个单位长度后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2017个零点．

Answer 1

分析 （1）依题意，可求得ω=2，φ=$\frac{π}{2}$，利用三角函数的图象变换可求得g（x）=sinx；
（2）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等价于关于x的方程a=-$\frac{cos2x}{sinx}$，x≠kπ（k∈Z）．问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．通过其导数，分析即可求得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，
∴ω=$\frac{2π}{π}$=2，
又曲线y=f（x）的一个对称中心为（$\frac{π}{4}$，0），φ∈（0，π），
故f（$\frac{π}{4}$）=sin（2×$\frac{π}{4}$+φ）=0，得φ=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=cos2x．
将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，
再将y=cosx的图象向右平移$\frac{π}{2}$π个单位长度后得到函数g（x）=cos（x-$\frac{π}{2}$）的图象，
∴g（x）=sinx．
（2）∵F（x）=f（x）+ag（x）=cos2x+asinx=0，
∵sinx≠0，
∴a=-$\frac{cos2x}{sinx}$，
令h（x）=-$\frac{cos2x}{sinx}$=2sinx-$\frac{1}{sinx}$，
h′（x）=2cosx+$\frac{cosx}{si{n}^{2}x}$=$\frac{cosx（2si{n}^{2}x+1）}{si{n}^{2}x}$，
令h′（x）=0得x=$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$，
∴h（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，（$\frac{π}{2}$，π）与（π，$\frac{3π}{2}$）上单调递减，（$\frac{3π}{2}$，2π）上单调递增，
当a＜-1时，h（x）=a在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；
当-1＜a＜1时，h（x）=a在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；
当a＞1时，h（x）=a在（0，2π）有2解；
则a=1时，h（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，
而2017÷3=672…1，所以n=672×2+1=1345，
∴存在a=1，n=1345时，F（x）有2017个零点．

点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了转化思想，属于中档题．