Question

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足c=2acosB+a，则$\frac{{sin（{B-A}）}}{sinAsinB}$的取值范围是（　　）

• A． $（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$
• B． $（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$
• C． $（{0，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$
• D． $（{1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$

Answer 1

分析 c=2acosB+a，利用正弦定理可得：sinC=2sinAcosB+sinA，又sinC=sin（A+B），代入化为：sin（B-A）=sinA．A，B为锐角，可得：B-A=A，可得：B=2A∈（0，$\frac{π}{2}$），A∈（0，$\frac{π}{4}$），又C=π-3A∈（0，$\frac{π}{2}$），可得：A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），k可得B∈$（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$．代入$\frac{{sin（{B-A}）}}{sinAsinB}$=$\frac{sinA}{sinAsinB}$=$\frac{1}{sinB}$．即可得出．

解答 解：∵c=2acosB+a，∴sinC=2sinAcosB+sinA，即sin（A+B）=2sinAcosB+sinA，
化为：sin（B-A）=sinA．
∵A，B为锐角，可得：B-A=A，可得：B=2A∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴A∈（0，$\frac{π}{4}$），
又∵C=π-3A∈（0，$\frac{π}{2}$），可得：A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），∴B∈$（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$．
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}＜$sinB＜1．
则$\frac{{sin（{B-A}）}}{sinAsinB}$=$\frac{sinA}{sinAsinB}$=$\frac{1}{sinB}$．
∴$\frac{{sin（{B-A}）}}{sinAsinB}$=$\frac{sinA}{sinAsinB}$=$\frac{1}{sinB}$∈$（1，\frac{2\sqrt{3}}{3}）$．
故选：D．

点评 本题考查了正弦定理、三角函数的单调性与求值、锐角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．