Question

16．已知函数g（x）=e^x+e^-x，其中e是自然对数的底数，正数k满足：存在x₀∈[1，+∞），使得g（x₀）≤k（-x₀²+3x₀）成立，则k的取值范围为（$\frac{1}{2}$（e+$\frac{1}{e}$），+∞）．

Answer 1

分析 通过构造函数f（x）=g（x）-k（-x²+3x）=e^x+e^-x-k（-x³+3x），并求导可知f（x）_min=f（1）=e+$\frac{1}{e}$-2k，进而问题转化为解不等式e+$\frac{1}{e}$-2k＜0，计算即得结论．

解答 解：由题意，记f（x）=g（x）-k（-x²+3x）=e^x+e^-x-k（-x³+3x），
则f′（x）=e^x-e^-x+3k（x²-1），
当x≥1时f′（x）＞0，即函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增，
此时f（x）_min=f（1）=e+$\frac{1}{e}$-2k，
由于存在x₀∈[1，+∞），使得g（x₀）≤k（-x₀²+3x₀）成立，
所以e+$\frac{1}{e}$-2k＜0，解得：k＞$\frac{1}{2}$（e+$\frac{1}{e}$），
故答案为：（$\frac{1}{2}$（e+$\frac{1}{e}$），+∞）．

点评 本题考查函数的单调性，考查存在性问题，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．