Question

5．已知抛物线x²=y，点A，B在该抛物线上且位于y轴的两侧，且直线AB与y轴交于点（0，a），若∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），则实数a的取值范围是（1，+∞）．

Answer 1

分析 由题意设出过M点的直线方程为y=kx+a，联立直线方程和抛物线方程，利用根与系数关系得到A，B两点的横纵坐标的积，由向量$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的数量积大于0求得a的范围．

解答 解：由题意设直线l的方程为y=kx+a，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=kx+a}\end{array}\right.$，得x²-kx-a=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=k，x₁x₂=-a，
∴y₁y₂=（x₁x₂）²=a²．
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=a²-a＞0，
解得a＞1
故a的范围为（1，+∞），
故答案为：（1，+∞）

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常采用联立直线与圆锥曲线，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求解，是中档题．