Question

15．已知f（x）=2xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（1）如果函数g（x）的单调递减区间为$（-\frac{1}{3}，1）$，求函数g（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（-1，g（-1））处的切线方程；
（3）已知不等式f（x）≤g'（x）+2恒成立，若方程ae^a-m=0恰有两个不等实根，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据不等式和方程的根的关系求出a的值，求出函数的解析式即可；
（2）求出函数的导数，计算g′（-1）和g（-1）的值，求出切线方程即可；
（3）问题转化为$a≥lnx-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2x}$对x∈（0，+∞）上恒成立，设$h（x）=lnx-\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}$，根据函数的单调性求出h（x）的最大值，从而求出a的范围，再求出m的范围即可．

解答 解：（1）g'（x）=3x²+2ax-1，
由题意3x²+2ax-1＜0的解集为$（-\frac{1}{3}，1）$，
即3x²+2ax-1=0的两根分别是$-\frac{1}{3}$，1，
代入得a=-1，
∴g（x）=x³-x²-x+2．            …．（3分）
（2）由（1）知，g（-1）=1，
∴g'（x）=3x²-2x-1，g'（-1）=4，
∴点P（-1，1）处的切线斜率k=g'（-1）=4，
∴函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程为y-1=4（x+1），
即4x-y+5=0．                   …（6分）
（3）由题意知2xlnx≤3x²+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立，
可得$a≥lnx-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2x}$对x∈（0，+∞）上恒成立，…（7分）
设$h（x）=lnx-\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}$，
则$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{3}{2}+\frac{1}{{2{x^2}}}=-\frac{（x-1）（3x+1）}{{2{x^2}}}$，
令h'（x）=0，得x=1，$x=-\frac{1}{3}$（舍），
当0＜x＜1时，h'（x）＞0；当x＞1时，h'（x）＜0，
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，∴a≥-2．…（10分）
令φ（a）=ae^a，则φ'（a）=e^a+ae^a=e^a（a+1），
所以φ（a）在[-2，-1]递减，在（-1，+∞）递增，
∵$φ（-2）=-2{e^{-2}}=-\frac{2}{e^2}$，$φ（-1）=-{e^{-1}}=-\frac{1}{e}$，当x→+∞时，φ（x）→+∞，
所以要把方程ae^a-m=0恰有两个不等实根，只需$-\frac{1}{e}＜m≤-\frac{2}{e^2}$．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．