Question

12．已知函数f（x）=x³-3x²+2．
（1）求函数的单调区间；  
（2）求函数的极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（1）由f（x）=x³-3x²+2，所以f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）．…（2分）
由f′（x）＞0知：x＜0或x＞2时；由f′（x）＜0知：0＜x＜2时．                              …（5分）
所以，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0），（2，+∞）．单调递减区间是（0，2）．    …（6分）
（2）f′（x）=3x²-6x．令f′（x）=0，解得x=2或x=0，…（7分）
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：…（10分）

x	（-∞，0）	0	（0，1）	2	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	2	↓	-2	↑

因此，当x=2时，f（x）有极小值，且 f（2）=-2
当x=0时，f（x）有极大值，且f（0）=2…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．