Question

已知函数f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

（1）求f（x）；
（2）求f（x）的最小值及取最小值时x的取值集合．
（3）tanα=2，求f（α）．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性,正弦函数的对称性

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由已知中函数f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

，求出A，ω和φ的值，可得f（x）的解析式；
（2）令2x=π+2kπ，k∈Z，由A=2，可得f（x）的最小值及取最小值时x的取值集合．
（3）tanα=2，利用万能公式，可求出f（α）的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-

π

6

），
∵函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

，
∴T=π，
又∵ω＞0，
∴ω=2，
又∵函数f（x）为偶函数，
∴φ-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，
即φ=kπ+

2π

3

，k∈Z，
又∵0＜φ＜π，
∴φ=

2π

3

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x；
（2）由（1）得，当2x=π+2kπ，k∈Z，
即x=

π

2

+kπ，k∈Z时，
f（x）取最小值为-2，
此时x的取值集合为{x|x=

π

2

+kπ，k∈Z}；
（3）∵tanα=2，
∴f（α）=2cos2α=2×

1-tan2α

1+tan2α

=-

6

5

．

点评：本题考查的知识点是两角和与差的正弦函数，诱导公式，正弦函数的单调性，对称性，最值，万能公式等，是三角函数的综合应用，难度中档．