Question

已知函数f（x）=

a

x

+lnx（a＞0）．
（1）判断函数f（x）在（0，e]上的单调性（e为自然对数的底）；
（2）记f′（x）为f（x）的导函数，若函数g（x）=x³-

a

2

x²+x²f′（x）在区间（

1

2

，3）上存在极值，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先求导，再根据a与e的关系，得到函数的单调区间，
（2）先求出g（x），再求导，函数g（x）有极值等价于关于x的方程3x²-ax+1=0在区间（

1

2

，3）上有异号实根，继而求得a的范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

x

+lnx（a＞0）．
∴f′（x）=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，
若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，a]上单调递减，
当x∈（a，e）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（a，e]上单调递增，
若a≥e，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，e]上单调递减．
（2）g（x）=x³-

a

2

x²+x²f′（x）=x³-

a

2

x²+x-a
∴g′（x）=3x²-ax+1
∵函数g（x）=x³-

a

2

x²+x²f′（x）在区间（

1

2

，3）上存在极值，
等价于关于x的方程3x²-ax+1=0在区间（

1

2

，3）上有异号实根，
∵a=

3x2+1

x

，
又a=3x+

1

x

在（

1

2

，

3

3

）上单调递增，在（

3

3

，3）上单调递增，
∴2

3

≤a＜

28

3

，
当a=2

3

时，g′（x）=（

3

-1）²≥不存在极值，
∴实数a的取值范围为（2

3

，

28

3

）

点评：本题主要考查了导数与函数的单调性和极值的关系，以及求参数的取值范围，属于中档题．