Question

数列{a_n}满足a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1，设S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，
（1）求证：a_4n+4=a_4n+8．
（2）令b_n=a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1+a_4n，求证：数列{b_n}是等差数列．
（3）求S₆₀的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）因为a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1，所以a_n+1=-（-1）ⁿa_n+2n-1，再代入，即可证明a_4n+4=a_4n+8．
（2）利用条件可得b_n+1=b_n+16，即可证明数列{b_n}是等差数列；
（3）确定数列{a_n}的前60项和即为数列{b_n}的前15项和，即可得出结论．

解答： （1）证明：因为a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1，
所以a_n+1=-（-1）ⁿa_n+2n-1．
所以a_4n-3=-a_4n-4+2（4n-4）-1，
a_4n-2=a_4n-3+2（4n-3）-1，
a_4n-1=-a_4n-2+2（4n-2）-1，
a_4n=a_4n-1+2（4n-1）-1，
a_4n+1=-a_4n+2×4n-1，
a_4n+2=a_4n+1+2（4n+1）-1，
a_4n+3=-a_4n+2+2（4n+2）-1，
a_4n+4=a_4n+3+2（4n+3）-1，
所以a_4n+4=a_4n+3+2（4n+3）-1=-a_4n+2+2（4n+2）-1+2（4n+3）-1
=-a_4n+1-2（4n+1）+1+2（4n+2）-1+2（4n+3）-1
=a_4n-2×4n+1-2（4n+1）+1+2（4n+2）-1+2（4n+3）-1
=a_4n+8，
即a_4n+4=a_4n+8．
（2）证明：令b_n=a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1+a_4n，
则b_n+1=a_4n+1+a_4n+2+a_4n+3+a_4n+4．
同理，a_4n+3=a_4n-1，a_4n+2=a_4n-2+8，a_4n+1=a_4n-3．
所以a_4n+1+a_4n+2+a_4n+3+a_4n+4=a_4n+a_4n-1+a_4n-2+a_4n-3+16．
即b_n+1=b_n+16，故数列{b_n}是等差数列．
（3）解：a₂-a₁=2×1-1，①
a₃+a₂=2×2-1，②
a₄-a₃=2×3-1，③
②-①得a₃+a₁=2；②+③得a₂+a₄=8，
所以a₁+a₂+a₃+a₄=10，即b₁=10．
所以数列{a_n}的前60项和即为数列{b_n}的前15项和，
即S₆₀=10×15+

15×14

2

×16=1 830．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．