Question

已知定点F（2，0）和定直线l：x=-3，动点P到定点F的距离比到定直线l：x=-3的距离少1，记动点P的轨迹为曲线C
（1）求曲线C的方程．
（2）若以M（2，3）为圆心的圆与抛物线交于A、B不同两点，且线段AB是此圆的直径时，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用抛物线的定义，即可求曲线C的方程．
（2）利用点差法，求斜率，即可求直线AB的方程．

解答： 解：（1）由题意知，P到F的距离等于P到直线x=-2的距离，…（4分）
所以P的轨迹C是以F为焦点，直线x=-2为准线的抛物线，它的方程为y²=8x…（6分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则y12=8x1，y22=8x2…（7分）
∴

y2-y1

x2-x1

=

8

y2+y1

…（9分）
由AB为圆M（2，3）的直径知，y₂+y₁=6
故直线的斜率为

4

3

…（12分）
直线AB的方程为y-3=

4

3

(x-2)即4x-3y+1=0…（13分）

点评：本题考查抛物线方程，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．