Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2

3

，离心率为

3

2

，l是过点B（0，b）且斜率为k的直线．
（1）求椭圆的方程；
（2）若l交C于另一点D，交x轴于点E，且BD，BE，DE成等比数列，求k²的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2

3

，离心率为

3

2

，可得

2c=2 3 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得即可；
（2）直线l的方程为：y=kx+1（k≠0）．与x轴交于E(-

1

k

，0)．联立

y=kx+1 x2+4y2=4

，可得D的坐标，利用BD，BE，DE成等比数列，可得BE²=BD•DE．解出即可．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2

3

，离心率为

3

2

，
∴

2c=2 3 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得c=

3

，a=2，b=1．
∴椭圆的方程为：

x2

4

+y2=1．
（2）直线l的方程为：y=kx+1（k≠0）．与x轴交于E(-

1

k

，0)．
联立

y=kx+1 x2+4y2=4

，解得

x=0 y=1

或

x=- 8k 1+4k2 y= 1-4k2 1+4k2

．
∴D(-

8k

1+4k2

，

1-4k2

1+4k2

)．
∵BD，BE，DE成等比数列，
∴BE²=BD•DE．
∴

1

k2

+1=

( 8k 1+4k2 )2+( 1-4k2 1+4k2 -1)2

•

(- 8k 1+4k2 + 1 k )2+( 1-4k2 1+4k2 )2

，
化为：k²=

2+ 6

8

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立、两点之间的距离公式、等比数列的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．