Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=2-

a

x

（a为实数）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）-g（x）的最小值；
（Ⅱ）若方程e^2f（x）=1.5g（x）（其中e=2.71828…）在区间[0.5，2]上有解，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）若u（x）=f（x）+x²+2mx，当y=u（x）存在极值时，求m的取值范围，并证明极值之和小于-3-ln2．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）当a=1时，函数φ（x）=f（x）-g（x），求导数，可得函数的单调性，即可求出函数的最小值；
（Ⅱ）方程e^2f（x）=1.5g（x）在区间[0.5，2]上有解，可得a=2^x-

2

3

x3在区间[0.5，2]上有解，求出右边的值域，即可求实数a的取值范围．
（Ⅲ）利用韦达定理，结合根的判别式，即可证明结论．

解答： （Ⅰ）解：当a=1时，函数φ（x）=f（x）-g（x）=lnx+

1

x

-2，
则φ′（x）=

x-1

x2

，
∴（0，1）上，φ′（x）＜0，（1+∞）上，φ′（x）＞0，
∴φ（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴φ（x）的最小值为0；
（Ⅱ）解：方程e^2f（x）=1.5g（x）在区间[0.5，2]上有解，可得a=2^x-

2

3

x3在区间[0.5，2]上有解
令h（x）=2^x-

2

3

x3（x∈[0.5，2]），则h′（x）=2（1-x）（1+x），
∴（0.5，1）上，h′（x）＞0，（1，2）上，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0.5，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
∵h（0.5）=

11

12

，h（1）=

4

3

，h（2）=-

4

3

，
∴h（x）∈[-

4

3

，

4

3

]，
∴a∈[-

4

3

，

4

3

]；
（Ⅲ）证明：∵u（x）=f（x）+x²+2mx，
∴u′（x）=

2x2+2mx+1

x

，
由-m＞0且△＞0，可得m＜-

2

，y=u（x）存在极值，
设y=u（x）的极值点为x₁，x₂，则y=u（x）的极值为u（x₁），u（x₂），
∴x₁+x₂=-m，x₁x₂=

1

2

，
∴u（x₁）+u（x₂）=-ln2-1-m²＜-3-ln2．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．