Question

一个多面体的直观图和三视图（主观图、左视图、俯视图）如图所示，M、N分别为A₁B、B₁C₁的中点．
（1）求证：MN∥平面ACC₁A₁；
（2）求证：MN⊥平面A₁BC；
（3）求二面角A-A₁B-C的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（1）通过已知条件容易判断BC，BA，BB₁三条直线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系．通过观察MN好像和AC₁平行，求向量

MN

，

AC1

的坐标，证明两向量平行即可；
（2）在平面A₁BC内找从一点出发的两个向量，并求其坐标，分别求和向量

MN

的数量积，数量积为0即可；
（3）容易说明平面AA₁B⊥平面CA₁B，所以所求二面角为90°．

解答： 解：（1）分别以CB，AB，BB₁所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
能确定以下几点坐标：
A（0，-a，0），B（0，0，0），C（-a，0，0），A₁（0，-a，a），C1(-a，0，a)，M(0，-

a

2

，

a

2

)，N(-

a

2

，0，a)；
∴

MN

=(-

a

2

，

a

2

，

a

2

)，

AC1

=(-a，a，a)，

A1B

=(0，a，-a)，

A1C1

=(-a，a，0)，

AM

=(0，

a

2

，

a

2

)，

CB

=(a，0，0)；
∴

MN

=

1

2

AC1

，∴

MN

∥

AC1

，∴MN∥AC₁，AC₁?平面ACC₁A₁，MN?平面ACC₁A₁；
∴MN∥平面ACC₁A₁．
（2）

BA1

=(0，-a，a)，

BC

=(-a，0，0)；
∴

MN

•

BA1

=-

a2

2

+

a2

2

=0，∴

MN

⊥

BA1

，∴MN⊥BA₁；
同理

MN

⊥

BC

，∴MN⊥BC，BA₁∩BC=B；
∴MN⊥平面A₁BC；
（3）∵BC⊥AB，BC⊥BB₁，AB∩BB₁=B；
∴BC⊥平面ABB₁A₁，即BC⊥平面AA₁B；
∴二面角A-A₁B-C为直二面角；
∴二面角A-A₁B-C的大小为90°．

点评：考查空间直角坐标系，两向量垂直的充要条件，线面垂直的判定定理，以及二面角，直二面角．