Question

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．
（1）若折痕斜率为-1，求折痕所在的直线方程；
（2）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；
（3）当-2+

3

≤k≤0时，求折痕长的最大值．

Answer 1

考点：直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：（1）折痕斜率为-1时，由于A点落在线段DC上，可得：折痕必经过点D（0，1），即可得出．
（2）当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=

1

2

．当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为G（a，1），可知：A与G关于折痕所在的直线对称，有k_OG•k=-1，解得a=-k．故G点坐标为G（-k，1），
从而折痕所在的直线与OG的交点坐标即线段OG的中点为M(-

k

2

，

1

2

)，即可得出．
（3）当k=0时，折痕长为2．当-2+

3

≤k＜0时，折痕所在直线交BC于(2，2k+

k2

2

+

1

2

)，交y轴于Q(0，

k2+1

2

)．利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）折痕斜率为-1时，∵A点落在线段DC上，∴折痕必经过点D（0，1），
∴折痕所在的直线方程为y=-x+1．
（2）①当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=

1

2

．
②当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为G（a，1），
所以A与G关于折痕所在的直线对称，
有k_OG•k=-1⇒

1

a

•k=-1，解得a=-k．
故G点坐标为G（-k，1），
从而折痕所在的直线与OG的交点坐标
（线段OG的中点）为M(-

k

2

，

1

2

)，）
折痕所在的直线方程y-

1

2

=k(x+

k

2

)，即y=kx+

k2

2

+

1

2

．
由①②得折痕所在的直线方程为：y=kx+

k2

2

+

1

2

．
（3）当k=0时，折痕长为2．
当-2+

3

≤k＜0时，折痕所在直线交BC于(2，2k+

k2

2

+

1

2

)，交y轴于Q(0，

k2+1

2

)．
∴|PQ|²=2²+(2k+

k2

2

+

1

2

-

k2+1

2

)2=4+4k²≤4+4(-2+

3

)2=32-16

3

．
∴|PQ|≤

32-16 3

=2

8-2 12

=2（

6

-

2

）＞2．
∴折痕长的最大值为2(

6

-

2

)．

点评：本题考查了关于折叠问题转化为轴对称问题，考查了直线的方程、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．