Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB．   
（1）求sinB的值；
（2）若

BA

•

BC

=2，b=2

2

，求a和c的值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：综合题,解三角形

分析：（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB-2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．
（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a²+b²=12，再根据完全平方式易得a和c的值．

解答： 解：（1）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
则2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，
故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，
可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，
即sin（B+C）=3sinAcosB，
可得sinA=3sinAcosB．
又sinA≠0，所以cosB=

1

3

因为B是△ABC的角
所以B∈[0，π]
所以sinB=

2 2

3

（2）由

BA

•

BC

=2，可得accosB=2，
因为cosB=

1

3

，所以ac=6，
由b²=a²+c²-2accosB，
可得a²+c²=12，
所以（a-c）²=0，即a=c，
所以a=c=

6

．

点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．