Question

在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取PD中点E，连接EM、AE，由已知得四边形ABME是平行四边形，由此能证明BM∥平面PAD．
（Ⅱ）由已知PA⊥AB，AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而AB⊥PD，由此得到PD⊥平面ABME，作MN⊥BE，交AE于点N，则MN⊥平面PBD，从而求出点N为AE的中点．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图，取PD中点E，连接EM、AE，
∴EM

∥

.

1

2

CD，而AB

∥

.

1

2

CD，∴EM∥AB，
∴四边形ABME是平行四边形，∴BM∥AE
∵AE?平面ADP，BM?平面ADP，
∴BM∥平面PAD．…（5分）
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，而AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD
∵PA=AD，E是PD的中点，
∴PD⊥AE，AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABME
作MN⊥BE，交AE于点N，则MN⊥平面PBD
由题意知△BME∽△MEN，而BM=AE=

2

，EM=

1

2

CD=1，
由

EN

EM

=

EM

BM

，得EN=

?EM)2

BM

=

1

2

=

2

2

，
∴AN=

2

2

，即点N为AE的中点．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查点的位置的判断与求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的求法．