Question

已知函数f（x）=lnx+ax²-（a+1）x（a∈R）．
（Ⅰ）若函数y=f（x）有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设曲线C：y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线为l，若l在点A处穿过曲线C（即动点在点A附近沿曲线y=f（x）运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求实数a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数，由题意知，方程2ax²-（a+1）x+1=0在（0，+∞）上有两个相异实根，运用二次方程实根的分布，即可得到a的取值范围；
（Ⅱ）求出切线方程，构造函数g（x）=f（x）-[ax-（a+1）]=lnx+ax²-（2a+1）x+（a+1），则g（1）=0，讨论a＜0，a=0，0＜a＜

1

2

，a=

1

2

，a＞

1

2

，函数的极值情况，即可加以判断．

解答： （Ⅰ） 解：函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′(x)=

1

x

+2ax-(a+1)=

2ax2-(a+1)x+1

x

．
由题意知，方程2ax²-（a+1）x+1=0在（0，+∞）上有两个相异实根，
则a≠0且

△=(a+1)2-4•2a＞0 a+1 2a ＞0 1 2a ＞0

⇒0＜a＜3-2

2

或a＞3+2

2

．     
即知实数a的取值范围是(0，3-2

2

)∪(3+2

2

，+∞)．       
（Ⅱ） 解：f′（1）=a，切线l的方程为y=f′（1）（x-1）+f（1）=a（x-1）-1=ax-（a+1）
构造函数g（x）=f（x）-[ax-（a+1）]=lnx+ax²-（2a+1）x+（a+1），则g（1）=0．
依题意g（x）的函数值在x=1附近的两侧异号，因此x=1一定不是g（x）的极值点．g′(x)=

1

x

+2ax-(2a+1)=

2ax2-(2a+1)x+1

x

=

(x-1)(2ax-1)

x

①若a＜0，则g′(x)=

2a(x-1)(x- 1 2a )

x

．当x∈（0，1）时，g′（x）＞0；
 x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0．则x=1是g（x）的极大值点，不符合题意；
②若a=0，则g′(x)=-

x-1

x

．当x∈（0，1）时，g′（x）＞0； x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0．
则x=1是g（x）的极大值点，不符合题意；
③若0＜a＜

1

2

，则g′(x)=

2a(x-1)(x- 1 2a )

x

，其中

1

2a

＞1．
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0；当x∈（1，

1

2a

）时，g′（x）＜0，则x=1是g（x）的极大值点，不合题意．
④若a=

1

2

，则

1

2a

=1，g′（x）=

(x-1)2

x

≥0，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，符合题意．
⑤当a＞

1

2

时，则g′（x）=

2a(x-1)(x- 1 2a )

x

，其中0＜

1

2a

＜1，当x∈（

1

2a

，1）时，g′（x）＜0
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，则x=1是g（x）的极小值点，不合题意．
综上可得，a=

1

2

．

点评：本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线、导数应用及二次方程根的分布等基础知识，同时考查抽象概括能力和推理论证能力．