Question

已知a≥

1

2

，f（x）=-a²x²+ax+c．
（1）证明对任意x∈[0，1]，f（x）≤1的充要条件是c≤

3

4

；
（2）已知关于x的二次方程f（x）=0有两个实根α、β，证明：|α|≤1且|β|≤1的充要条件是：c≤a²-a．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,二次函数的性质

专题：简易逻辑

分析：（1）利用二次函数的单调性即可得出；
（2）利用求根公式可得方程-a²x²+ax+c=0的两根，再利用不等式的性质即可证明．

解答： 解：（1）f（x）=-a²（x-

1

2a

）²+c+

1

4

，
∵a≥

1

2

，∴

1

2a

∈（0，1]，∴x∈（0，1]时，[f（x）]_max=c+

1

4

，
若c≤

3

4

，则f（x）≤[f（x）]_max=c+

1

4

≤1，
若f（x）≤1，则[f（x）]_max=c+

1

4

≤1，即c≤

3

4

，
∴对任意x∈[0，1]，f（x）≤1的充要条件是c≤

3

4

．
（2）方程-a²x²+ax+c=0的两根为x1=

1+ 1+4c

2a

，x2=

1- 1+4c

2a

，
不妨设α=

1+ 1+4c

2a

，β=

1- 1+4c

2a

，其中1+4c≥0，若c≤a²-a，
则1+4c≤4a²-4a+1=（2a-1）²，
∵2a-1≥0，∴

1+4c

≤2a-1，即0＜

1+ 1+4c

2a

≤1，即|α|≤1，
又1-

1+4c

≥1-（2a-1）=2-2a＞-2a，∴

1- 1+4c

2a

＞-1，
又∵

1- 1+4c

2a

≤

1+ 1+4c

2a

≤1，
∴|β|≤1．
若|α|≤1，且|β|≤1，
∴

1+ 1+4c

2a

≤1，且

1- 1+4c

2a

≥-1，
∵2a≥1，
∴

1+4c

≤2a-1，且

1+4c

≤2a+1，
∴

1+4c

≤2a-1，
即c≤a²-a，
∴|α|≤1且|β|≤1的充要条件是c≤a²-a．

点评：本题考查了二次函数的单调性、一元二次方程的求根公式、不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．