Question

已知关于x的方程ax²-2（a+1）x+a-1=0，探究a为何值时，
（1）方程有一正一负两根；
（2）方程的两根都大于1；
（3）方程的一根大于1，一根小于1．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：令f（x）=ax²-2（a+1）x+a-1，（1）由x₁•x₂=

a-1

a

＜0，求得a的范围．
（2）由

△=(-2a-2)2-4a(a-1)＞0 a+1 a ＞1 f(1)=a-2(a+1)+a-1＞0

，求得a的范围．
（3）当a＞0时，由f（1）＜0，且a＞0，求得a的范围；当a＜0 时，由f（1）＞0，求得a的范围．再把这两个a的范围取并集，即得所求．

解答： 解：关于x的方程ax²-2（a+1）x+a-1=0，令f（x）=ax²-2（a+1）x+a-1，
（1）由x₁•x₂=

a-1

a

＜0，解得0＜a＜1，故当0＜a＜1时，该方程有一正一负两根．
（2）由

△=(-2a-2)2-4a(a-1)＞0 a+1 a ＞1 f(1)=a-2(a+1)+a-1＞0

，解得a∈∅，∴不存在实数a使方程的两根都大于1．
（3）由f（1）=a-2（a+1）+a-1＜0，且a＞0，求得 a＞0；
由f（1）=a-2（a+1）+a-1＞0，且a＜0，求得a无解．
综上，当 a＞0时，方程的一根大于1，一根小于1．

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．