Question

已知函数f（x）=（

2

）^x+a的反函数f^-1（x）的图象过原点．
（1）若f^-1（x-3），f^-1（

2

-1），f^-1（x-4）成等差数列，求x的值；
（2）若互不相等的三个正数m、n、t成等比数列，问f^-1（m），f^-1（t），f^-1（n）能否组成等差数列，并证明你的结论．

Answer 1

考点：等差关系的确定,反函数

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于函数f（x）=（

2

）^x+a的反函数f^-1（x）的图象过原点，可得：函数f（x）=（

2

）^x+a也经过原点，解得a=-1．可得函数f（x）=（

2

）^x-1的反函数f^-1（x）=log

2

(x+1)，由f^-1（x-3），
f^-1（

2

-1），f^-1（x-4）成等差数列，2f^-1（

2

-1）=f^-1（x-3）+f^-1（x-4），再利用对数的运算法则即可得出．
（2）互不相等的三个正数m、n、t成等比数列，则n²=mt．假设f^-1（m），f^-1（t），f^-1（n）能组成等差数列，可得2f^-1（t）=f^-1（n）+f^-1（m），代入可得（t-n）（t²+nt+n²+2t+n）=0，这与互不相等的三个正数相矛盾．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=（

2

）^x+a的反函数f^-1（x）的图象过原点，
∴函数f（x）=（

2

）^x+a也经过原点，
∴0=(

2

)0+a，解得a=-1．
∴函数f（x）=（

2

）^x-1的反函数f^-1（x）=log

2

(x+1)，
∵f^-1（x-3），f^-1（

2

-1），f^-1（x-4）成等差数列，
∴2f^-1（

2

-1）=f^-1（x-3）+f^-1（x-4），
∴2log

2

(

2

-1+1)=log

2

(x-3+1)+log

2

(x-4+1)，
化为2=log

2

(x-2)(x-3)，
∴（x-2）（x-3）=(

2

)2，
化为x²-5x+4=0，解得x=1或4．
经检验可知：x=1不满足条件．
∴x=4．
（2）互不相等的三个正数m、n、t成等比数列，则n²=mt．
假设f^-1（m），f^-1（t），f^-1（n）能组成等差数列，
则2f^-1（t）=f^-1（n）+f^-1（m），
∴2log

2

(t+1)=log

2

(n+1)+log

2

(m+1)，
化为（t+1）²=（m+1）（n+1），
把m=

n2

t

代入上式可得：t²+2t=

n3

t

+nt+n2，
化为（t-n）（t²+nt+n²+2t+n）=0，
∵三个正数m、n、t，∴t=n．
这与互不相等的三个正数相矛盾．
∴f^-1（m），f^-1（t），f^-1（n）不能组成等差数列．

点评：本题考查了反函数的性质、等差数列的性质、对数的运算性质、反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．