Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=3，DE=4．
（Ⅰ）若F为DE的中点，求证：CD⊥AF；
（Ⅱ）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得AE⊥CD，CD⊥DA，从而CD⊥平面ADE，由此能证明CD⊥AF．
（Ⅱ）过E点作EH⊥AD，垂足为H，连结BH，由已知得AE⊥CD，CD⊥平面ADE，∠EBH是直线BE与平面ABCD所成的角．由此能求出直线BE与平面ABCD所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵AE⊥平面CDE，
∴AE⊥CD，
又正方形ABCD中，CD⊥DA，且DA∩AE=A，
∴CD⊥平面ADE，AF?平面ADE，则CD⊥AF．
（Ⅱ）解：过E点作EH⊥AD，垂足为H，连结BH，
∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD，
又∵CD⊥AD，AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，
∴CD⊥EH，CD∩AD=D，∴EH⊥平面ABCD，
∴∠EBH是直线BE与平面ABCD所成的角．
RT△ADE中，AE=3，DE=4，∴AD=5，EH=

12

5

．AB∥CD，
∴AB⊥AE，∴BE=

34

，∴sin∠EBH=

HE

BE

=

6 34

85

．
∴直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为

6 34

85

．

点评：本题考查直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．