Question

在一场垒球比赛中，其中本垒与游击手的初始位置间的距离为1，通常情况下，球速是游击手跑速的4倍．
（1）若与连结本垒及游击手的直线成α角（0°＜α＜90°）的方向把球击出，角α满足什么条件下时，游击手能接到球？并判断当α=15°时，游击手有机会接到球吗？
（2）试求游击手能接到球的概率．（参考数据

15

=3.88，sin14.5°=0.25）．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用,几何概型

专题：解三角形

分析：（1）设游击手的跑速为v，接球所用的时间为t，游击手的初始位置为A，本垒为O，在B处接球，在△AOB中，据余弦定理可得，推出15（vt）²-8cosα（vt）+1=0，通过△≥0，求出当0°≤α≤14.5°时，游击手能接到球．当α=15°时，15°∉[0°，14.5°]，游击手没有机会接到球．
（2）设事件A={游击手能接到球}，总事件Ω={球在O点沿α角击出}，通过几何概型求游击手能接到球的概率．

解答： 解：设游击手的跑速为v，接球所用的时间为t，游击手的初始位置为A，本垒为O，在B处接球，如图，由题意知：OA=1，0B=4vt，AB=vt，∠AOB=α，
在△AOB中，据余弦定理可得，
（vt）²=1+16（vt）²-2×4（vt）×cosα，
即15（vt）²-8cosα（vt）+1=0，则其判别式△=（8cosα）²-4×15×1=64cos²α-60．
据题意，当游击手能接到球时：△≥0，
即64cos²α-60≥0，∴cos²α≥

15

16

．
∴cosα≥

15

4

，∴0≤sinα≤

1

4

，∴0°≤α≤14.5°，
即当0°≤α≤14.5°时，游击手能接到球．
当α=15°时，15°∉[0°，14.5°]，所以当α=15°时，游击手没有机会接到球．
（2）设事件A={游击手能接到球}，总事件Ω={球在O点沿α角击出}，
则事件A中的基本事件满足：0°≤α≤14.5°，
总事件Ω中的条件满足：0°≤α≤90°，
因此P（A）=

14.5°-0°

90°-0°

=

29

180

．

点评：本题考查余弦定理的应用，几何概型的应用，考查实际问题的转化与应用，考查计算能力．