Question

已知{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列
（Ⅰ）若a_n=3n+1，是否存在m，k∈N^*，有a_m+a_m+1=a_k？请说明理由；
（Ⅱ）若b_n=aqⁿ（a、q为常数，且aq≠0）对任意m存在k，有b_m•b_m+1=b_k，试求a、q满足的充要条件．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a_m+a_m+1=a_k，得6m+6+3k+1，整理后，可得k-2m=

4

3

，由于m、k∈N，及k-2m为整数，即可得出．
（II）利用等比数列的通项公式和充要条件即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由a_m+a_m+1=a_k，得6m+6+3k+1，整理后，可得k-2m=

4

3

，
∵m、k∈N，∴k-2m为整数，∴不存在n、k∈N^*，使等式成立．
（Ⅱ）当m=1时，则b₁•b₂=b_k，
∴a²•q³=aq^k，
∴a=q^k-3，即a=q^c，其中c是大于等于-2的整数．
反之当a=q^c时，其中c是大于等于-2的整数，则bn=qn+c，
显然bm•bm+1=qm+c•qm+1+c=q2m+1+2c=bk，其中k=2m+1+c．
∴a、q满足的充要条件是a=q^c，其中c是大于等于-2的整数．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、充要条件的判定，考查了推理能力和计算能力，属于难题．