Question

有2名老师，3名男生，4名女生照相留念，在下列情况中，各有多少种不同站法？
（1）男生必须站在一起；
（2）女生不能相邻；
（3）老师必须坐在中间
（4）若4名女生身高都不等，从左到右女生必须由高到矮的顺序站；
（5）老师不站两端，男生必须站中间．

Answer 1

考点：排列、组合及简单计数问题

专题：排列组合

分析：（1）男生必须相邻而站，把三个女生看做一个元素，则共有7个元素进行全排列，再乘以还有女生内部的一个排列．
（2）女生互不相邻，应采用女生插空法，首先要老师和男生先排列，形成6个空，再在这6个空中选4个排列女生．
（3）其中一位老师在正中间时，另一位老师和他相邻，可以在左边也可以在右边，其他位置任意排，
（4）若4名女生身高都不等，从左到右女生必须由高到矮的顺序站，则女生的顺序只有一个，可以看做在9个位置上排列教师和男生就可以得到结果．
（5）中间的三个位置排列三个男生有A₃³种结果，在去掉两端的四个位置上选两个位置排列两名教师有A₄²种结果，余下的四个位置把四名女生全排列，共有A₄⁴种结果，相乘得到结果．

解答： 解：（1）男生必须相邻而站，把三个女生看做一个元素，则共有7个元素进行全排列，再乘以还有女生内部的一个排列共有A₇⁷•A₃³=30240，
（2）女生互不相邻，应采用女生插空法，首先要老师和男生先排列，形成6个空，再在这6个空中选4个排列女生．根据乘法原理得到共有A₅⁵•A₆⁴=43200，
（3）其中一位老师在正中间时，另一位老师和他相邻，可以在左边也可以在右边，其他位置任意排，共有A₂¹•A₂¹•A₇⁷=20160，
（4）若4名女生身高都不等，从左到右女生必须由高到矮的顺序站，则女生的顺序只有一个，可以看做在9个位置上排列教师和男生就可以，共有A₉⁵=15120，
（5）老师不站两端，男生必须站中间，则中间的三个位置排列三个男生有A₃³种结果，在去掉两端的四个位置上选两个位置排列两名教师有A₄²种结果，余下的四个位置把四名女生全排列，共有A₄⁴种结果，
根据分步计数原理得到共有A₄²•A₄⁴•A₃³=1728．

点评：本题考查站队问题，这是排列组合中的典型问题，要先排限制条件多的元素，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，本题是一个中档题目．