Question

已知n∈N^*，
（1）证明：对任意k∈N^*，有kC

k n

=nC

k-1 n-1

；
（2）证明：1•C

1 n

+2•C

2 n

+…+n•C

n n

=n•2^n-1；
（3）化简：C

0 n

-

1

2

C

1 n

+

1

3

C

2 n

-

1

4

C

3 n

+…+

(-1)n

n+1

C

n n

．

Answer 1

考点：组合及组合数公式

专题：排列组合

分析：（1）由组合数公式可得左边=

n!

(k-1)!•(n-k)!

，右边=

n!

(k-1)!•(n-k)!

，可证得结论；（2）设0

C

0 n

+1•C

1 n

+2•C

2 n

+…+n•C

n n

=x，①由组合数的性质可得n

C

0 n

+（n-1）•C

1 n

+（n-2）•C

2 n

+…+0•C

n n

=x，两式相加即可证明；（3）由（1）对任意k∈N^*，有kC

k n

=nC

k-1 n-1

，变形可得

1

k

C

k-1 n-1

=

1

n

C

k n

，可得原式=

1

n

C

1 n+1

-

1

n

C

2 n+1

+

1

n

C

3 n+1

-

1

n

C

4 n+1

+…+

1

n

（-1）ⁿ

C

n+1 n+1

=

1

n

（

C

1 n+1

-

C

2 n+1

+

C

3 n+1

-

C

4 n+1

+…+（-1）ⁿ

C

n+1 n+1

），由（1-1）n+1的二项展开式可得．

解答： 证明：（1）左边=kC

k n

=k•

n!

k!•(n-k)!

=

n!

(k-1)!•(n-k)!

，
右边=n•

(n-1)!

(k-1)!•(n-1-k+1)!

=

n!

(k-1)!•(n-k)!

，
∴对任意k∈N^*，有kC

k n

=nC

k-1 n-1

；
（2）设0

C

0 n

+1•C

1 n

+2•C

2 n

+…+n•C

n n

=x，①
则n•C

n n

+（n-1）•

C

n-1 n

+…+1•C

1 n

+0

C

0 n

=x，
由组合数的性质可得n

C

0 n

+（n-1）•C

1 n

+（n-2）•C

2 n

+…+0•C

n n

=x，③
①③两式相加可得n（

C

0 n

+C

1 n

+C

2 n

+…+C

n n

）=2x，
即n•2ⁿ=2x，∴x=n•2^n-1，
∴1•C

1 n

+2•C

2 n

+…+n•C

n n

=n•2^n-1；
（3）由（1）对任意k∈N^*，有kC

k n

=nC

k-1 n-1

，
∴变形可得

1

k

C

k-1 n-1

=

1

n

C

k n

，
∴C

0 n

-

1

2

C

1 n

+

1

3

C

2 n

-

1

4

C

3 n

+…+

(-1)n

n+1

C

n n

=

1

n

C

1 n+1

-

1

n

C

2 n+1

+

1

n

C

3 n+1

-

1

n

C

4 n+1

+…+

1

n

（-1）ⁿ

C

n+1 n+1

=

1

n

（

C

1 n+1

-

C

2 n+1

+

C

3 n+1

-

C

4 n+1

+…+（-1）ⁿ

C

n+1 n+1

）
=

1

n

（

C

0 n+1

+

C

1 n+1

-

C

2 n+1

+

C

3 n+1

-

C

4 n+1

+…+（-1）ⁿ

C

n+1 n+1

）-

1

n

=

1

n

（1-1）ⁿ⁺¹-

1

n

=-

1

n

点评：本题考查组合数及组合数公式，正确变形是解决问题的关键，属较难题．