Question

已知函数f（x）=x³-x²+ax+b（a，b∈R）的一个极值点为x=1
（1）求a的值和f（x）的单调区间；
（2）若方程x²-bx-ab=0的两个实根为α，β（α＜β），函数f（x）在区间[α，β]上单调，求b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=3x²-2x+a，由f′（1）=1+a=0，解得a=-1．进而结合二次函数的图象和性质，分析导函数在各个区间上的符号，要得f（x）的单调区间；
（2）函数f（x）在区间[α，β]上是单调的，区间[α，β]只能是区间（-∞，-

1

3

]，[-

1

3

，1]，[1，+∞）之一的子区间．分类讨论满足条件的b值，综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-x²+ax+b
∴f′（x）=3x²-2x+a，
由f′（1）=1+a=0，解得a=-1．--------（3分）
∴f′（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1），
当x≤-

1

3

时，f′（x）≥0；当-

1

3

≤x≤1时，f′（x）≤0，当x≥1时，f′（x）≥0，；
∴函数f（x）在（-∞，-

1

3

]上单调递增，在[-

1

3

，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．（6分）
（2）∵方程x²-bx+b=0的两个不等实根为α，β，
∴△=b²-4b＞0，b＜0或b＞4  （*）
∵函数f（x）在区间[α，β]上是单调的，
∴区间[α，β]只能是区间（-∞，-

1

3

]，[-

1

3

，1]，[1，+∞）之一的子区间．
记g（x）=x²-bx+b，g（x）的对称轴为x=

b

2

，
①若[α，β]⊆（-∞，-

1

3

]，则

b 2 ≤- 1 3                 g(- 1 3 )= 1 9 + 4 3 b≥0

，解得无解；--------（9分）
②若[α，β]⊆[-

1

3

，1]，则

- 1 3 ≤ b 2 ≤1 △=b2-4b＞0 g(1)≥0 g(- 1 3 )= 1 9 + 4 3 b≥0

，
解得：b∈[-

1

12

，0)

③[α，β]⊆[1，+∞），则

b 2 ≥1         g(1)=1≥0 △＞0

，
解得b＞4
∴实数b的取值范围为[-

1

12

，0)∪(4，+∞)．------------------------------------------------（15分）

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数与一元二次方程的综合应用，难度中档．