Question

设等差数列{a_n}的公差为d，S_n是{a_n}中从第2^n-1项开始的连续2^n-1项的和，即
S₁=a₁，
S₂=a₂+a₃，
S₃=a₄+a₅+a₆+a₇，
…
S_n=a 2n-1+a 2n-1+1+…+a 2n-1
（1）若S₁，S₂，S₃成等比数列，问：数列{S_n}是否成等比数列？请说明你的理由；
（2）若a₁=

15

4

，d＞0，证明：

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

≤

8

9d

（

1

2

-

1

4n+1

），n∈N^*．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的性质,归纳推理,数学归纳法

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据S₁，S₂，S₃成等比数列，求出d=0或a₁=

3

2

d，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式、等比数列的定义分别判断数列{S_n}是否成等比数列即可；
（2）由a₁=

15

4

d＞0，可得

1

Sn

=

1

2n-1( 3 2 d•2n-1+a1- 3 2 d)

=

8

9d

•

3

4n+3•2n

=

8

9d

×

3×4n-1

42n-1+3×2n×4n-1

≤

8

9d

×

4n-4n-1

42n-1+5×4n-1+1

=

8

9d

(

1

4n-1+1

-

1

4n+1

)．利用“裂项求和”即可得出．

解答： （1）解：∵S₁，S₂，S₃成等比数列，
∴

S

2 2

=S₁•S₃，
∴a₁（a₄+a₅+a₆+a₇）=(a2+a3)2，
∴a1(4a1+18d)=(2a1+3d)2，化为2a1d=3d2，解得d=0或a₁=

3

2

d．
当d=0时，Sn=2n-1a1≠0，∴

Sn+1

Sn

=2，∴数列{S_n}成等比数列．
当a₁=

3

2

d时，S_n=a2n-1+a2n-1+1+…+a2n-1
=2n-1a2n-1+

2n-1(2n-1-1)

2

d=2n-1[a1+(2n-1-1)d]+

2n-1(2n-1-1)

2

d=

3

2

d•4n-1≠0．
∴

Sn+1

Sn

=4，∴数列{S_n}成等比数列．
综上可得：S₁，S₂，S₃成等比数列，数列{S_n}成等比数列．
（2）∵a₁=

15

4

d＞0，
∴

1

Sn

=

1

2n-1( 3 2 d•2n-1+a1- 3 2 d)

=

8

9d

•

3

4n+3•2n

=

8

9d

×

3×4n-1

42n-1+3×2n×4n-1

≤

8

9d

×

4n-4n-1

42n-1+5×4n-1+1

≤

8

9d

(

1

4n-1+1

-

1

4n+1

)．
∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

≤

8

9d

[(

1

40+1

-

1

41+1

)+(

1

41+1

-

1

42+1

)+…+(

1

4n-1

-

1

4n+1

)]=

8

9d

（

1

2

-

1

4n+1

），n∈N^*．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、等比数列的定义及其性质、“裂项求和”，考查了变形、裂项、放缩等技巧，考查了推理能力和计算能力，属于难题．