Question

已知f（x）=alnx，g（x）=f（x）+bx²+cx，且f′（2）=1，g（x）在x=

1

2

和x=2处有极值．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）若k＞0，判断g（x）在区间（k，2k）内的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求f′（x），g′（x），根据已知条件能得到f′（2）=1，g′（

1

2

）=0，g′（2）=0三个关于a，b，c的方程组成的方程组，解方程组即可；
（2）求出g′（x），根据g′（x）的符号判断函数g（x）在（0，+∞）上的单调性，讨论k，看区间（k，2k）在（0，+∞）上的分布情况，从而判断函数g（x）在（k，2k）内的单调性．

解答： 解：（1）f′（x）=

a

x

，g′（x）=f′（x）+2bx+c=

a

x

+2bx+c；
由已知条件知：

f′(2)= a 2 =1 g′( 1 2 )=2a+b+c=0 g′(2)= a 2 +4b+c=0

，解得a=2，b=1，c=-5；
（2）g（x）=2lnx+x²-5x，g′（x）=

2

x

+2x-5=

(x-2)(2x-1)

x

；
∴x∈（0，

1

2

），（2，+∞）时，g′（x）＞0；x∈（

1

2

，2）时，g′（x）＜0；
∴函数g（x）在（0，

1

2

），（2，+∞）上单调递增；在（

1

2

，2）上单调递减；
∴若0＜k＜2k≤

1

2

，即0＜k≤

1

4

时，g（x）在（k，2k）内的单调递增；
若0＜k＜

1

2

＜2k＜2，即

1

4

＜k＜

1

2

时，g（x）在（k，

1

2

]内的单调递增，在（

1

2

，2k）内的单调递减；
若

1

2

≤k＜2k≤2，即

1

2

≤k≤1时，g（x）在（k，2k）内的单调递减；
若

1

2

＜k＜2＜2k，即1＜k＜2时，g（x）在（k，2）内的单调递减，在（2，2k）内的单调递增；
若k≥2，g（x）在（k，2k）内的单调递增．

点评：本题考查求函数的导数，函数在极值点处的导数取值情况，极值点的概念，根据导数符号判断函数的单调性．